【简单】不修改数组找出重复的数字

Henry

给定一个长度为 $n + 1$ 的数组nums，数组中所有的数均在 $n \sim 1$ 的范围内，其中 $n \ge 1$。

请找出数组中任意一个重复的数，但不能修改输入的数组。

样例

给定 nums = [2, 3, 5, 4, 3, 2, 6, 7]。
返回 2 或 3。

思考题：

如果只能使用 $O(1)$ 的额外空间，该怎么做呢？

Henry

算法

(分治，抽屉原理) $O(nlogn)O(nlogn)$
这道题目主要应用了抽屉原理和分治的思想。

抽屉原理：$n+1$ 个苹果放在 $n$ 个抽屉里，那么至少有一个抽屉中会放两个苹果。

用在这个题目中就是，一共有 $n+1$ 个数，每个数的取值范围是1到n，所以至少会有一个数出现两次。

然后我们采用分治的思想，将每个数的取值的区间$[1, n]$划分成$[1, n/2]$和$[n/2+1, n]$两个子区间，然后分别统计两个区间中数的个数。
注意这里的区间是指 数的取值范围，而不是 数组下标。

划分之后，左右两个区间里一定至少存在一个区间，区间中数的个数大于区间长度。
这个可以用反证法来说明：如果两个区间中数的个数都小于等于区间长度，那么整个区间中数的个数就小于等于$n$，和有$n+1$个数矛盾。

因此我们可以把问题划归到左右两个子区间中的一个，而且由于区间中数的个数大于区间长度，根据抽屉原理，在这个子区间中一定存在某个数出现了两次。

依次类推，每次我们可以把区间长度缩小一半，直到区间长度为1时，我们就找到了答案。

复杂度分析

时间复杂度：每次会将区间长度缩小一半，一共会缩小 $O(logn)O(logn)$ 次。每次统计两个子区间中的数时需要遍历整个数组，时间复杂度是 $O(n)O(n)$。所以总时间复杂度是 $O(nlogn)O(nlogn)$。
空间复杂度：代码中没有用到额外的数组，所以额外的空间复杂度是 $O(1)O(1)$。

C++ 代码

class Solution {
public:
    int duplicateInArray(vector<int>& nums) {
        int l = 1, r = nums.size() - 1;
        while (l < r) {
            int mid = l + r >> 1; // 划分的区间：[l, mid], [mid + 1, r]
            int s = 0;
            for (auto x : nums) s += x >= l && x <= mid;
            if (s > mid - l + 1) r = mid;
            else l = mid + 1;
        }
        return r;
    }
};